Ideias e Formas Diferenciais

Meu professor de Cálculo 3, Alexandre Grichkov, nascido na Sibéria em meados do século passado, destaca-se significativamente no Instituto de Física por suas peculiaridades etárias e, especialmente, culturais. Dentre elas, daquilo que se pode apreender de mensagens um tanto nebulosas de suas aulas, ele reitera a importância que da as ideias.

Embora em alguns momentos a matemática incumba-se de problemas tidos como mais práticos, até nesses há sempre uma distância entre o que se pensa e a coisa em si. Há sempre um hiato entre a palavra e o que se diz. A natureza fundamentalmente abstrata da matemática é portanto, a ferramenta que a conduz como arte das ideias. Me parece que o processo cognitivo é exatamente um processo de abstração: há necessidade de perda de informação para que uma realidade inalcançável torne-se compreensível. Deve-se perceber, por outro lado, que ao tirar de um objeto certas características particulares, é, só assim, possível relaciona-lo com similares e distinguí-lo como categoria.

É uma questão pungente para mim entender os limites do contato com o ser. Talvez para Clarice precisaríamos cada vez mais nos desconectarmos de nossas humanidades, das palavras, da razão. Sinto-me despreparado e incapaz de sustentar a nudez dessas questões. Por isso, volto à matemática. Estávamos nas ideias. Com efeito, aquilo que meu professor parece indicar, é que detalhes de resultados são irrelevantes desde que você seja capaz de lembrar dos pilares através dos quais aquilo foi construído.

O sistema axiomático é o estreitamento último do ímpeto abstracionista. Selecione ideias intuitivas, gerais, básicas, chame-as de axiomas. Tome sua lógica, essa, por sua vez, tem suas regras, essas regras de operar-se sentenças devem ser também naturais. Se $P \Rightarrow Q$, isto é, $Q$ é uma condição necessária, então podemos dizer de forma equivalente que um conjunto $A$ de elementos que satisfazem a propriedade $P$, está contido no conjunto $B$ de elementos que satisfazem a propriedade $Q$, $A \in B$.

Parece convincente, se temos que, a proposição $P$ sendo válida, a relação $Q$ automaticamente é satisfeita, um elemento de um conjunto ($A$) que satisfaz $P$ deve estar contido também no conjunto ($B$) que satisfaz $Q$. Isto basta. Aceitamos como verdadeiros os axiomas e a lógica como suficientemente consistente e todo resto deve ser construído a partir desses fundamentos. Ou seja, de forma mais geral, a maneira com a qual a matemática é construída suscita seu aprendizado através de ideias intrincadas.

Tomando conhecimento de resultados anteriores, a ideia a qual meu professor refere-se é, na verdade, a relação entre ideias prévias. Estas, por sua vez, podem ser construídas por outras ideias anteriores, chegando até o limite dos axiomas e da lógica. Claro, não estressamos esse processo sempre, na maioria das vezes a prática é partir de noções intuitivas que são desenvolvidas com maturidade, sem ter que retomar todos raciocínios até chegar nessas noções. Estudando um tópico avançado, certamente devemos nos desprender do preciosismo de ter todos resultados pré-requisitos constrúidos na ponta da língua, estes já tendo sido contemplados, suas ideias tornam-se cada vez mais intuitivas, permitindo abstrair até delas, procedimentos mais fundamentais que podem ser compartilhados em outras áreas.

Os caminhos da descoberta

A concepção do Cálculo Diferencial e Integral é interessante pois nele destaca-se o processo prático da inovação, que trilha caminhos muito mais tortuosos e menos organizados do que a retomada retroativa da disciplina na forma moderna pode fazer parecer. Existe um papel didático fundamental em selecionar bem como as ideias devem ser organizadas. A compreensão daquilo que se quer ensinar é profundamente indiviual.

Deve-se munir o sujeito com o máximo de perspectivas para que ele possa observar de diferentes formas abstrações para que possa criar a sua. Como se ensina alguém o que é um número? Uma função? Em última instância isso não ocorre, mostramos como se comporta, como se parece, a intuição, a forma cognitiva de uma ideia deve ser manualmente tecida pelo sujeito. É como fornece-lo uma caixa preta. Veja, movimente a caixa dessa tal forma, sinta o peso, o cheiro. Esse é o papel da instrução, não entramos nunca em contato com a coisa em si, ensinamos como podemos imaginá-la.

Enquanto a compreensão profunda envolve, por meio da abstração, a relacão com ideias prévias do indivíduo, fazendo com que ele agora possa também observar um objeto com suas próprias perspectivas, transformando qualquer conhecimento em uma teia não linear de objetos concebidos; o ensino tem que, inevitavelmente, tomar alguma forma linear.

O nascimento de uma nova ideia parece, portanto, tanto uma organização, quanto uma profunda bagunça. Por um lado, para que algo de diferente apareça, é necessário que elementos até então distintos estejam dispostos em conjunto. É preciso que diversas cartas desconexas estejam em uma mesma mesa, em uma bagunça tremenda. Em contrapartida, o parto da ideia surge justamente num ímpeto de arquitetura, de conexão, selecionar algumas cartas e escrever uma linha daquilo que há entre elas.

Veja, até o século XIX com Weierstrass e Cauchy, o Cálculo era essa arquitetura inovadora, ideias foram junta-postas e portanto organizadas, mas surgiu a necessidade de um trabalho de polimento. Haviam conexões profundas entre todos esses conceitos que permitiam dalí tirar um edifício mais coeso. Reescrevendo algumas das novas cartas, aí sim novos passos importantes seriam dados e em 200 anos a matemática tomaria rumos cada vez mais inventivos.

Esses matemáticos tiveram esse papel de reconstrução, acredito que, talvez mesmo sem essa intenção, também o de professor. É preciso organizar as ideias para ensinar e compreender, bagunçá-las para conectá-las e organiza-las novamente no surgimento de uma nova. São dois tempos que habitam simultaneamente todo indivíduo.

O Cálculo

Newton aparentemente criou o cálculo como uma ferramenta física, as taxas de variações dessas quantidades que, como fluxos, variavam com o tempo, evocavam o manejo de quantidades extremamente pequenas, infinitesimais. Leibniz em sua notação, introduzindo o $\frac{dy}{dx}$ provocou uma forma de pensar perigosa, mas imporante.

Outro professor soviético, Mikhailo Dokuchaev, ao ministrar Cálculo 1, ano passado, reforçava diversas vezes que esses sinais de infinitessimais eram apenas uma notação. Grichkov, por outro lado, não tinha esse cuidado. Até então essa diferenciação na abordagem da disciplina não passava diferente que um gosto. Talvez o primeiro queria salientar que físicos devessem ter mais cuidado ao articular matemática. O segundo, quem sabe, seguisse o princípio que, assim como Newton usava sem a devida formalidade os artifícios matemáticas e foi justamente o que possibilitou sua inventividade, conectar as cartas e organizá-las mesmo sem conhecer tudo que estava por trás das manipulações, sem exigir daquilo uma arquitetura completa, robusta, final.

Embora a maneira como coloco possa fazer parecer que me alinho mais à segunda posição, é, na prática, exatamente o contrário. O uso injustificado desses diferenciais, a falta de rigor formal, isso era de uma desorganização que me fugia à compreensão. Eu precisava das coisas mais organizadas para absorve-las, para construir a mim as abstrações.

Foi então que, durante a última aula, o professor apresentou o Teorema Generalizado de Stokes, um dos mais imporante resultado de cálculo:

$$ \int_{\partial D} \omega = \int_{D} d\omega $$

O objetivo era claro, a demonstração seria a nós poupada para que houvesse mais tempo para ouvirmos histórias soviéticas e opiniões polémicas sobre assuntos como gravidez de menores, felicidade de pessoas em situação de vulnerabilidade economica e social, e muitas outras. Brincadeiras a parte, de fato foge do escopo do curso até mesmo mostrar o Teorema de Stokes dessa forma geral. Mas estar em um ambiente com personalidade singulares como a de Grichkov é justamente o que torna uma trajetória de estudo única. Acredito que devo aproveitá-la.

E ali estava a forma diferencial em um resultado extremamente importante, e ficou evidente que aquela notação era um pouco mais do que só uma forma conveniente de escrever, ela tinha sua própria lógica e razão de ser. Operacionalizar a notação de Leibniz vai, portanto, muito além da aparência de frações e regra da cadeia.

Mudança de Variável em uma Integral Simples

Avaliemos um caso mais básico. Tome $f: [c, d] \to \mathbb{R}$ integrável e $g: [a, b] \to [c, d]$ de forma que $g([a, b]) = [c, d]$, também que $g(a) = c$ e $g(b) = d$ e seja a integral:

$$ \int_{a}^{b} f(g(u))g'(u)du $$

Essa é a forma mais comum de enunciar a primeira porção da expressão correspondente à mudança de variável. Deve ser possível notar de imediato a mistura entre a notação de Lagrange ($g'$) e de Leibniz ($du$). A princípio $du$, como orientava Dokuchaev, seria uma herança de um $\Delta u$ proveniente de uma Soma de Riemann com o limite do diâmetro da partição tendendo à 0.

Por definição:

$$ g'(u) = \frac{dg}{du} $$

O que nos levaria a escrever:

$$ dg = g'(u)du $$

Ou, cortar o $du$ da expressão da integral, avaliando $g$ agora como uma variável independente, entre os extremos de sua imagem:

$$ \int_{a}^{b} f(g(u))g'(u)du = \int_{c}^{d} f(g)dg $$

Outra perspectiva, ligeiramente mais formal é: f é integrável, portanto, pelo Teorema Fundamental do Cálculo:

$$ \int_{c}^{d} f(x)dx = F(d) - F(c) $$

Em que $F$ é uma primitiva de $f$, isto é, no intervalo de sua definição $F'=f$ para todos pontos. A função $F(g(u))$ é uma primitiva de $f(g(u))g'(u)$, assim:

$$ \int_{a}^{b} f(g(u))g'(u)du = F(g(b)) - F(g(a)) $$

Mas, nas situações do enunciado $F(g(b)) - F(g(a)) = F(d) - F(c) $, chegando a exatamente a mesma conclusão, sem recorrer aos diferenciais.

Integral de linha de campo vetorial

Agora para o que parece uma mudança brusca na direção, considere as mudanças de variávle um preâmbulo, portanto. Queremos calcular o trabalho que um campo vetorial de força $F(x, y, z) = (P(x,y,z), Q(x,y, z), R(x,y,z))$ realiza sobre uma partícula percorrendo uma curva $\gamma : [a,b] \to \mathbb{R}^3$. Fazendo uma partição em $\gamma$ obtemos uma poligonal.

O comprimento de cada segmento é a norma $||\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})||$ para cada coordenada de $\gamma$ aplicamos o teorema do valor médio, chegando em:

$$ \left| \left( \gamma_x(\bar{t}), \gamma_y(\bar{\bar{t}}), \gamma_z(\bar{\bar{\bar{t}}}) \right)\Delta t \right| $$

No limite é possível mostrar que esses pontos '$\bar{t}$' "colapsam". O comprimento de uma curva qualquer será a Soma de Riemann dos comprimentos dessa poligonal quando o diâmetro da partição tende à 0. Escrevemos:

$$ L=\int_a^{b} \left| \gamma '(t) \right|dt $$

Mas estamos interessados no trabalho, para isso, consideraremos a força constante para os segmentos, o que torna-se mais razoável no limite em que seus comprimentos são infinitessimais. Pela definição, o trabalho realizado por uma força em uma trajetória retilínea é o produto escalar entre a força e o versor direção do segmento, multiplicado pelo seu comprimento, isto é, a componente da força que atua na direção do deslocamento e o próprio deslocamento.

Teríamos algo do tipo:

$$ \tau=\int_a^{b} \left\langle \ F, \frac{\gamma'(t)}{\left| \gamma '(t) \right|} \right\rangle \left| \gamma '(t) \right|dt $$

O vetor $\gamma '(t)$ é sempre tangente a trajetória pela construção da derivada, uma aproximação linear local, portanto, paralela aos segmentos da poligonal e no limite aos "deslocamento infinitessimal". Para obter o versor simplesmente dividimos pelo comprimento do vetor. Nos resta:

$$ \tau=\int_a^{b} \left\langle \ F, \gamma'(t) \right\rangle dt $$

Essa é a definição de uma integral de linha sobre um campo vetorial e ela pode ser escrita como:

$$ \int_{\gamma} F \cdot d\gamma $$

Outra forma é ainda mais comum e nos leva em direção a discussão inicial dos diferenciais: Seja $\gamma = (x(t), y(t), z(t))$

$$ \int_{\gamma} F \cdot d\gamma =\int_a^{b} \left\langle \ (P,Q,R){\gamma(t)} , (x, y, z){t} \right\rangle dt = $$

$$ =\int_a^{b} \left[ P(\gamma(t))x'(t) + Q(\gamma(t))y'(t) + R(\gamma(t))z'(t) \right] dt = $$

$$ =\int_{\gamma} Pdx + Qdy + Rdz $$

Usamos aqui exatamente a ideia da mudança de variável na integral simples, são, na prática, três integrais distintas sintetizadas por possuirem mesmos intervalos de integração.

Teorema Fundamental do Cálculo

A ideia dessas construções, em especial essa última envolvendo uma forma com diferenciais, é buscar unificar, assim generalizar, abstrair, um resultado único que abarque todos casos particulares de integração.

Considere $F: I = [a, b] \to \mathbb{R}$ diferenciável e tal que $F'(x) = f(x) \forall x$. Assim:

$$\frac{dF}{dx} = f(x)$$

Ou, $dF = f(x)dx$. Aplicando isso ao Teorema de Stokes obtemos:

$$ \int_{\partial I} F(x) = \int_{I} dF = \int_{a}^{b} f(x)dx$$

A fronteira do intervalo $I$ simbolizada por $\partial I$ são dois pontos, é necessário que a fronteira seja orientada. Outra consideração é que, nesse caso base, devemos retomar a noção de integral como um somatório de uma função em um conjunto, para um conjunto finito isso é exatamente a soma das imagens dos pontos. Por fim, sentido convencional é "para fora" do intervalo, por isso, nesse caso:

$$ \int_{\partial I} F(x) = F(b) - F(a) $$

Como a orientação do ponto $a$, "para fora", é no sentido dos números negativos pensando na reta real, sua contribuição nessa soma deve ser negativa também. Chegamos no Teorema Fundamental do Cálculo como um caso particular do Teorema de Stokes.

$$ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $$

A nomenclatura aqui vai ser importante. Uma forma diferencial $\omega$ é ita 0-forma quando é uma função, sem derivadas envolvidas, como é o caso na $F$ acima. Já $dF$ é dita 1-forma por envolver uma derivada $dF = f(x)dx$.

Voltando a integral de lina $\omega = Pdx + Qdy + Rdz $ é, tendo visto isso, 1-forma.

Essa terminologia também diz respeito a integração envolvida, 1-forma são integrais em intervalos (portanto espaços 1-dimensionais), a seguir veremos 2-formas, que serão integradas como áreas (2-dimensionais), e assim por diante.

O Teorema de Stokes é, na verdade, a relação entre uma integral de uma k-forma e uma (k-1)-forma. No caso de uma 1-forma, sua equivalência, o TFC permite que calculemos essa integral utilizando uma 0-forma que é simplesmente uma avaliação da função em extremos (0-dimensionais).

Qualitativamente o que se pode dizer é que, é possível obter a informação exata de um somatório contínuo da "variação", na realidade, da forma diferencial de uma função dentro de um conjunto apenas somando a função no bordo dele.

Obtendo 1-formas e 2-formas

As 0-formas são funções convencionais, caso minha função seja, digamos $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ a 1-forma correspondente $df$ será: $df = \nabla f \cdot(dx_1, dx_2, ..., dx_n)$. Isto é a "variação" da função nada mais é do que a soma das taxas de variação instantânea em cada direção multiplicadas por um "incremento" infinitessimal na direção respectiva.

Uma forma diferencial 1-forma recebe um "vetor tangente" ($(dx, dy)$, por exemplo) e retorna a variação total da função.

Se a função for, de forma geral, $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ o gradiente é substituído pelo Jacobiano e teremos um produto matricial que retorna um vetor resultante, de mesma dimensão da saída da função, cada coordenada será a variação do valor da coordenada aplicada o vetor infinitessimal nas direções respectivas.

Veja $f: (u, v) \mapsto (x, y, z)$

$$df = \left( x_udu+x_vdv , y_udu+y_vdv, z_udu+z_vdv\right)$$

O Caso particular Teorema de Stokes para 1-formas chama-se Teorema de Green, ele relacionará integrais de linha com integrais duplas (de áreas). Nos termos que estamos usando, ao integrar uma 2-forma podemos obter o resultado calculando a integral de uma 1-formas sob o bordo de uma área, uma curva.

Surge que precisamos agora calcular 2-formas e aqui o processo fica um pouco mais sofisticado. Vamos nos restringir a 1-formas em $\mathbb{R}$, não matrizes com mais de uma entrada. Na prática teremos algo como $\omega = Pdx + Qdy$ e queremos obter $d\omega$.

O procedimento é: $d\omega = dP \wedge dx + dQ \wedge dy $. O operador $\wedge$ é o produto externo e representa um n-volume orientado entre vetores, ou seja, pra isso ele anticomuta. Se a dimensão for 2, será a área entre dos vetores, como $u \wedge v$. Ainda não é claro toda intuição por trás, preciso voltar a isso futuramente.

Campos Conservativos

Ainda há alguns detalhes sobre campos conservativos. Primeiro uma 1-forma $\omega$ é dita fechada se $d\omega = 0$, o que é equivalente a dizer que ela é irrotacional. Uma 1-forma é exata se existir um campo escalar $H$ qual que $dH = \omega$, esse campo é justamente o potencial, e uma forma exata é equivalente a um campo conservativo. Ser fechada é condição necessária para ser exata, enquanto, ser fechada e estar definida em um domínio simplesmente conexo é suficiente para ser exata.

Ideias

Parece existir um conjunto pequenos de ideias realmente basilares para física e matemática, o que de nenhuma forma significa que ideias consequenciais sejam mais fáceis de serem compreendidas ou deduzidas. É preciso sentir a incompreensão aguda para depois organizar as cartas, intuí-las e ensiná-las para nós mesmos, depois é claro vem a parte mais divertida que é bagunçar tudo novamente em busca de conexões mais interessantes.

O desenvolvimento de Variedades Diferenciáveis, segundo diz um artigo na Wikipedia que menciona um autor importante, é um campo de estudo de pouco mais de 100 anos, talvez não seja tão inatural toda essa incompreensão.